Обсудить на форуме - Помощь проекту

Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.
Эл. книга t.me/kudaidem/2126

Математические способности. Как преуспеть в математике и точных науках (даже если алгебра наводила на вас ужас) A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) · 2014 Барбара Оакли Barbara Oakley.

В книге раскрывается секреты эффективного обучения, с которыми зачастую не знакомы даже старательные отличники.

Математика требует творческого мышления. Большинство людей думают, что есть только один способ решить задачу, а на самом деле решений множество. Так, например, существует около 300 известных доказательств теоремы Пифагора. Чтобы увидеть их, нужен аналитический подход. Стратегии обучения из этой книги применимы не только к математике и естественным наукам, но к любому объекту изучения. Человек обладает всем необходимым, чтобы преуспеть в тех областях, в которых он на первый взгляд слаб. Способность к математике — естественное следствие эволюции, но ее высвобождения требуются усилия.

 

Три причины познакомиться с обзором:

  • Узнать о парадоксах процесса обучения, которые упрощают поиск правильного решения.
  • Ознакомиться с простой и гениальной инструкцией по применению человеческого мозга.
  • Повысить эффективность в освоении новой информации даже в тех областях, которые раньше не давались.

Исследования доказали: освоить математику и другие точные науки может любой человек.

Оакли является одной из первых, кто показал, как достичь этого на практике. 

Любой может не только освоить математику, но и полюбить!

Для этого важно задействовать разные режимы работы мозга, а главное —дать мозгу время «переварить» новую информацию.

Решение задач превратится в череду ситуаций успеха, а дальнейшее обучение станет истинным удовольствием. 

Доказано неврологией (на уровне нейронных связей), когнитивной психологией (многочисленными экспериментами и наблюдениями), практикой ученых. 

Эта книга — о решении задач, математических и не только.

О том, что для этого нужно нашему мозгу и как ему это дать — путем использования нехитрых трюков и приемов, которые подготавливают нас к решению: помогают обрабатывать информацию, запоминать ее и доставать из недр подсознания в нужный момент — легко и непринужденно. Так что если в своей жизни вы сталкиваетесь с принятием решений — эта книга для вас.

1. Чудеса мозга (и что из этого следует).

Чтобы научиться быстро и легко усваивать и обрабатывать информацию, необходимо понять, как это делает наш мозг — а дальше дело за малым: использовать самые короткие тропки, которыми он проходит каждый раз. 

1.1. Два режима .

Итак, наш мозг работает в двух режимах — режиме повышенного внимания и режиме расслабленного блуждания (отдыха).

Назовем их сфокусированный режим и рассеянный режим. Мозг постоянно переключается с одного режима на другой. Кроме того, когда мы фокусируемся на одном вопросе, наш мозг может работать в фоновом (рассеянном) режиме совсем над другим. Иногда в нашем мозге, как вспышка, возникают мысли, генерированные в рассеянном режиме (так называемое озарение). 
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.
 

Сфокусированный режим работы незаменим при освоении точных наук: он использует целенаправленный подход к решению задач — рациональный, последовательный, аналитический. Он ассоциируется с работой префронтальной части головного мозга. Обратите свое внимание на какой-то предмет — и раз! — ваш сфокусированный режим включен. Прямо как узконаправленный луч света из фонарика. 
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

Однако, в сфокусированном режиме есть вероятность слишком зациклиться — сконцентрироваться на ошибочных мыслях, в то время как решение проблемы может ждать вас совсем в другой зоне мозга.
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

Это так называемый эффект Лачинса (или эффект установки), когда идея, которая уже есть у вас в голове (проторенная дорожка предыдущих решений) или простая первая догадка мешает вам найти другое, правильное решение.

 

Рассеянный режим, как оказалось, также чрезвычайно важен для освоения новой информации: он ответственен за «озарения», а также позволяет нам взглянуть на проблему в целом.

Рассеянный режим включается, когда вы расслабляетесь и отпускаете мысли в свободное плавание. Он не связан с конкретным участком головного мозга, он именно «рассеян» по всему мозгу. Таким образом, расслабление позволяет мыслям свободно бродить и неожиданным образом связывать те кусочки мозаики, которые были наработаны в сфокусированном режиме, — так и случается озарение. 

Этот режим особенно важен для освоения чего-то нового, ведь в этом случае у вас нет образца или предыдущего опыта решения, который поможет вам прийти к заветной цели. Вам нужен широкий обзор, чтобы найти новый подход. Рецепт в этом случае прост — отключить сфокусированный режим и перейти в рассеянный.

Этот же прием отлично работает, когда вы застряли на пути к решению (эффект Лачинса) — просто переключитесь!

Запуск рассеянного режима помогает нам усваивать информацию на более глубоком, креативном уровне.

Работа небольшими порциями, чередующаяся переменками или работой над другими темами, — самый эффективный и легкий способ поиска решения. 
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.
Таким образом, для эффективного освоения математики и других точных наук вам понадобятся оба режима: один обрабатывает получаемую информацию и потом отсылает результаты в другой. Такое «перебрасывание» информации между режимами оказывается необходимым для решения всех проблем (за исключением самых типичных и простых). Это похоже на возведение стены: работа в сфокусированном режиме — это выпекание кирпичиков, а в рассеянном — склеивание их воедино цементным раствором. 

Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

1.2.  Две памяти.

Эффективное освоение материала невозможно без эффективного запоминания, а потому остановимся на еще одной составляющей мыслительного процесса — памяти. Мы рассмотрим две (применительно к нашим целям): оперативную и долговременную

 

Оперативная память работает с тем, что вы в настоящий момент сознательно осваиваете в мозге. Доказано, что она может удерживать примерно 4 порции информации одновременно. Это своего рода жонглер: только четыре предмета остаются в воздухе (в памяти), подталкиваемые нашей энергией (мыслительным процессом). 

При изучении математики оперативная память незаменима: она как ваша личная классная доска, место, где вы можете набросать идеи и рассматриваемые концепции. Как удерживать идеи в оперативной памяти? Только путем постоянного повторения и концентрации внимания.

Долговременную же память можно сравнить с большим хранилищем.

Однажды попав туда, предметы (идеи, концепции) остаются там навсегда. Хранилище огромно, коробок миллиарды, и потерять там нужную очень легко.

Раз положив «коробку» в долгосрочную память, вы должны «вернуться» к ней несколько раз, чтобы позже найти к ней «дорогу» (то есть вспомнить в нужный момент). 

В долговременной памяти мы храним все фундаментальные концепции и образцы решений.

Чтобы надежно поместить идею в долговременную память, используйте технику «Разнесенных во времени повторений»: вы повторяете то, что хотите надолго запомнить, но эти повторения распределяете во времени (а не совершаете подряд). 

Еще одно важное условие работы памяти и мозга в целом — это сон.

Он помогает выстроить нейронные связи, необходимые для нормальной работы мозга; «стирает» все обыденно-бытовое и оставляет действительно важное; позволяет глубже понять суть изучаемой проблемы и само решение.
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

(1.3.  Разложить по полочкам — в кластеры).

Поскольку наша память содержит огромное количество информации, получить доступ к каждому конкретному кусочку в нужный момент помогают информационные кластеры. 

Информационные кластеры — это кусочки информации, связанные друг с другом значением. Вы можете взять буквы Д, О и М и связать их в один концептуальный, легкий для запоминания кластер — слово «дом». Создавать такие кластеры — все равно что переписывать огромный тяжеловесный файл в zip-формат. 

И один из первых шагов на пути освоения точных наук — это научиться создавать концептуальные кластеры — эти ментальные дорожки, которые объединяют отдельные кусочки информации через значение.

 

Объединение информации в такие кластеры помогает мозгу наращивать эффективность: единожды собрав отдельные кусочки в кластер (идею или концепцию), вам больше не нужно каждый раз вспоминать каждый кусочек во всех деталях. 

Как же сформировать такой кластер?

Шаг 1. Сконцентрировать внимание на информации, которую вы хотите «уложить» в кластер. Полностью.

Шаг 2. Понять общую идею того, что вы изучаете — обобщить ключевую информацию. Понимание — как суперклей — помогает связать маршруты памяти воедино. 

Шаг 3. Освоить контекст — чтобы вы могли видеть не только КАК использовать решение, но и КОГДА его использовать.

 

Контекст предполагает более широкий взгляд на проблему — за счет повторений и выполнения практических заданий, решения проблем, относящихся к теме и не относящихся, чтобы ясно представлять, когда использовать, а когда не использовать данную концепцию.

 

Практика — решение различных задач  —помогает расширить сеть нейронных связей так, чтобы не просто утвердить этот кластер (концепцию, идею, решение) в вашей голове, но и подвести к нему множество дорожек. 

Из всего этого процесса следует очень правило: вспомните и проговорите в уме то, что вы только что прочитали.

Воспроизведение информации формирует кластер гораздо быстрее, чем пассивное перечитывание. 

 

Из готовых кластеров ваш мозг создает огромную библиотеку, где вы можете легко найти искомое. Больше того, в рассеянном режиме ваш мозг будет также составлять и группировать частички или целые кластеры библиотеки в случайном порядке, пока не придет к озарению — новому нетривиальному решению. Чем больше идей или кластеров в вашей голове, тем вероятнее такое решение и тем проще вам решать задачи в принципе. 

И еще один секрет в создании обширной ментальной библиотеки — чередование. 

 

Чередование различных задач (требующих различных стратегий решения) во время практического освоения.

 

Настоящее владение предметом — это умение выбирать решение для конкретной задачи. Единственный способ достичь этого — решать задачи, требующие разных подходов. Например, можно поочередно делать задачи из разных упражнений учебника — это будет сложнее, но гораздо эффективнее. 
(2. Старый добрый враг.2.1. Зомби в твоей голове)

Как уже становится понятно из того, как мозг осваивает информацию (переключение режимов, разнесенные по времени повторения, создание кластеров), ваш главный друг и помощник — это время!

Мозгу нужно давать время переварить новый материал.

А его главный враг — это откладывание изучения материала на последний момент.

Откладывая все на последний момент, вы:

• оставляете себе время только на поверхностную обработку материала в сфокусированном режиме;

• создаете себе стрессовую ситуацию  — и тем самым создаете слабые, фрагментарные нейронные связи;

• получаете иллюзию освоения материала — эффект «в одно ухо влетело — в другое вылетело». Это особенно пагубно в математике и точных науках: каждый последующий материал здесь часто строится на основе уже освоенного. Оставьте незакрытой одну дырочку — и рухнет вся плотина.

Это пресловутое откладывание — естественная реакция вашего мозга на что-то неприятное или сложное. Заниматься ему этим не хочется.

И тогда он запускает ваших внутренних «зомби» — реакции, которые «уводят» ваше сознание от неприятной темы и дают временный комфорт. 

Каков же выход? 

2.2. Меняем зомби — плохих на хороших.

Наши «зомбированные» реакции — не что иное, как привычки. Бороться с ними тяжело, часто непродуктивно и получается не всегда.

Поэтому проще заменить одни привычки на другие, полезные для нас. 

Состоят привычки из 4 частей: 

• стимул (раздражитель, который запускает «зомбированный» режим), 

• ритуал (собственно само привычное действие), 

• награда (то, ради чего вам «нужна» данная привычка),

• убежденность (в необходимости или неотвратимости данной привычки). 

Единственный момент, когда нам стоит применить нашу волю (и то в самом начале приобретения новой, помогающей нам привычки) — это на уровне стимула-раздражителя. 

Понаблюдайте, что именно «запускает» вашу привычку (отвлекающую от работы): сигнал нового сообщения на электронной почте (и вот вы уже читаете свою почту, открываете социальные сети и бродите по интернету уже битый час)?

Или звонок сотового?

Рецепт прост: или исключить (убрать подальше) нежелательные раздражители (отключить телефон, закрыть почту и поесть перед работой), или установить новые сигналы (например, приход домой с занятий пусть станет сигналом к началу домашней работы, а пробуждение по утрам — сигналом поработать (вместо обычного сигнала проверить почту и все социальные сети), пусть даже всего 10 минут). 

 

Теперь переходим к ритуалу — то есть к самому выполнению работы, а оно должно стать для нас приятным. Освоение даже сложного материала можно сделать не мучительным, а приятным с помощью этих нехитрых приемов:

 

• Сфокусируйтесь на процессе (то есть течении времени), а не результате (продукте вашего труда):

«Сейчас я сяду и поработаю над этой главой/презентацией 25 минут!» вместо «Сейчас я сяду и прочитаю всю главу / напишу полпрезентации».

Это значительно уменьшает градус «неприятности» от выполнения сложной работы, ведь так вы перестаете постоянно замерять — «приблизился ли я к окончанию работы?» — и расслабленно «отдаетесь» процессу. 

 

• Разбейте материал/работу на маленькие порции и работайте интенсивно, но понемногу — техника «Помидора».
Ставите таймер на 25 минут и погружаетесь в работу. И только работу!

Кто-то может подумать, что таймер только добавит стресса — его тиканье создает некоторое напряжение, но ученые доказали обратное: небольшой стресс (в конце концов, это поставленный вами, а не экзаменатором таймер) «тренирует» вас и позволяет перенести действительно серьезный стресс (проведение презентации в многолюдной аудитории, например) легче и увереннее. 

 

• Наградите себя после каждого (пусть даже небольшого) отрезка работы. Так у вас действительно появится возможность полюбить то, над чем вы работаете — небольшие награды после небольшой работы сделают свое дело.
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

 

Что касается ваших установок или убеждений в отношении работы/учебы, то перепрограммировать себя (настроить на работу) вам поможет техника «ментального контраста».

Вы представляете то, чего вы хотите достичь (в результате учебы/работы) и сравниваете с это с тем, что имеете сейчас.

 

Если вы хотите стать инвестиционным банкиром (и для этого штудируете все эти бесконечные формулы и задачки), представьте себе, что вы уже «там»: большой красивый офис с шикарным видом, каникулы на лазурном берегу и т. д. Теперь сравните с тем, что имеете сейчас (желательно, не самые лучшие стороны положения). Этот контраст и станет мощным стимулом поработать еще 25 минут. И еще. И еще. 

 

Но не забудьте после работы обязательно запланировать отдых! 

Отдых необходим вашему мозгу. Помните, так он переходит в рассеянный режим для глубинного усвоения информации.
(3. Игры памяти: сила визуального пространства).

Все техники и трюки, связанные с памятью, используют наши огромные визуально-пространственные способности к запоминанию, и есть они у всех.

Они выработались у нас в результате эволюции: запомнить, как вернуться домой с охоты или где находятся ягодные места — все это было принципиальным для выживания. Отсюда и развились наши превосходные способности запоминать «где что находится и как выглядит». 

 

Отсюда и всевозможные трюки быстрого запоминания: 

• Сила визуального образа: создайте очень запоминающийся образ того, что хотите запомнить. Например, запомнить, в каких месяцах 30, а в каких 31 день, получается не у всех, и тут выручает образ: ваши собственные кулаки, на каждой из костяшек которых и «живет» такой месяц. 

 Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

• Дворец памяти (или Метод Цицерона) — это знакомое для вас место, где вы можете «расставить» образы, представляющие то, что вам нужно запомнить, будь то список продуктов или семь шагов научного метода.
Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

С помощью этой техники удобно запоминать не связанные друг с другом предметы.

Например, возьмем список продуктов: нам нужно купить молоко, хлеб, яйца и бананы. А теперь представьте свою гостиную, на пороге которой стоит гигантская бутылка молока, на диване рассыпаны крошки хлеба, со столика капают разбитые яйца, а с люстры свисает связка бананов. Такую картинку вы легко вспомните в любом магазине. 

 Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

• Повторение. Если повторяете вы правильно, то есть распределяете «сеансы повторения» во времени, перемежая их отдыхом или другими делами.

 

• Создайте метафору или аналогию, лучше в виде визуального образа.

Это поможет вам не только запомнить, но и понять идею или концепцию, которую вы изучаете. Если вы пытаетесь постичь идею электрического тока, представьте его себе в виде потока воды, а электрическое напряжение будет похоже на давление. Ведь напряжение помогает «продавить» электрический ток туда, где он вам нужен.

 

• Создавайте значимые группы, чтобы упростить материал.

Возьмем тот же список продуктов: молоко, хлеб, яйца и бананы — и представим себе тосты с бананом (для их приготовления нам и нужны будут хлеб, молоко с яйцом, ну и кусочки бананов для вкуса). По этому же принципу создаются и предложения-напоминалки: например, фраза «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан» (в ней первая буква каждого слова совпадает с первой буквой названия цвета, а вся фраза помогает запомнить последовательность цветов в радуге). 

 

• Рассказывайте истории: у талантливых педагогов лекции — это скорее истории, со своим сюжетом, главными героями и, конечно, загадкой, которую вам непременно нужно раскрыть. 

 

Все эти приемы помогают вам лучше понять материал, визуализировать его, провести понятные аналогии — а это и есть самая главная часть запоминания. Понимание лежит в основе всего, особенно в точных науках. 
(4. Поэзия точных наук).

Сосредоточенность важна так же, как отвлеченное мышление, старательное запоминание — так же, как образные, отвлеченные аналогии, а рутинная практическая работа — так же, как творческий подход.

На этих противоречиях построены и другие техники, которые пригодятся вам в изучении математики. 

 

И первая из них — это поэзия уравнений.

Поэзия — не набор слов, так же как уравнение — не набор знаков.

 

В уравнениях (как и в поэме) всегда присутствует скрытое значение — и оно открывается в полной мере, когда вы знакомитесь с идеями, на которых оно построено.

 

Вряд ли ученые станут сравнивать уравнение с поэмой, но для них, как и для поэтов, это упрощенный способ донести то, что они пытаются увидеть и понять.

 

Крайне эффективный прием в деле изучения точных наук — это вдохнуть жизнь в абстрактные идеи (хотя бы в нашем воображении).

 

Теория относительности Эйнштейна, например, возникла не из его математических вычислений (за ними он часто обращался к другим ученым), а из его богатого воображения.

 Он представлял себя фотоном, летящим со скоростью света, а потом представлял, как второй фотон мог его воспринимать. Что будет видеть и чувствовать этот другой фотон? 

Сначала это может показаться глупым — «оживлять» в своем воображении механизмы или элементы, которые вы изучаете, но этот метод работает: с ним вы скорее, возможно, даже интуитивно, представите то, что сухие цифры вам дать не могут. 

Думай как математик. Как решать любые задачи быстрее и эффективнее.

Еще один способ постижения материала — это упрощение, то есть разбор сложного материала на ключевые моменты.

 

Результат — более глубокое понимание материала.

 

Чарльз Дарвин, например, когда хотел описать свою новую идею на бумаге, откладывал перо и представлял, как к нему в кабинет заходит «неподготовленный» человек, и пытался объяснить ему свою мысль самыми простыми словами.

 

С этим же связана и техника Фейнмана, предполагающая поиск простой метафоры или аналогии для упрощения сложной идеи.

 

И последняя важная техника поиска решений (особенно нетривиальных) — это перенос.

Перенос — это способность использовать то, что вы изучили в одном контексте, для решения задачи в другом.

Классический пример — изучение языков. То, что вы выучили в одном языке, пригодится вам и во всех последующих, а потому освоение каждого нового языка всегда проще, чем овладение предыдущим. 

 

У этой техники есть еще одна сторона: изучение математики в конкретном контексте (например, только в пределах бухучета или экономики) усложняет перенос этих знаний в другие сферы.

 

И наоборот, изучение абстрактной математики значительно упрощает ее дальнейшее применение и перенос знаний в другие области.

 

Понимание абстрактной сути помогает вам использовать ее в дальнейшем в других, прикладных контекстах.

(5. Проверочная работа: тест как способ обучения).

Тесты — это мощное средство освоения материала! 

Если вы сравните, сколько усваивается за час изучения материала и за час прохождения теста, то увидите, что явное преимущество будет на стороне теста. Тестирование волшебным образом позволяет нашему сознанию сконцентрироваться

 

Самым эффективным будет начать со сложной задачи (то есть «загрузить» ее в рассеянный режим вашего мозга). Как только вы почувствуете, что застряли в ней, следует переключиться на более простую задачу (тем самым оставив ваш рассеянный режим думать «за вас»), а к сложной задаче вернуться позже, когда мозг уже наработает варианты. 

 

Если во время теста вы запаниковали, ненадолго отвлекитесь и сосредоточьтесь на дыхании. Это поможет вам «перезагрузиться». 

И помните, сфокусированный режим — какой бы аналитический и последовательный он ни был — еще может быть зацикленным и негибким.

Поэтому его стоит перепроверить! Чтобы включить рассеянный режим (с картинкой в целом), важно еще раз проверить решение задач перед тем, как сдавать работу, и удостовериться, что ваши ответы соответствуют здравому смыслу.

Заключение.

Центральная тема этой книги — парадоксы процесса обучения.

Сконцентрированное внимание незаменимо в поиске решений, и в то же время оно может блокировать эту способность при необходимости «отклониться» от маршрута.

Настойчивость — ключевая составляющая обучения, но, перейдя в зацикленность, она дает обратный результат.

Запоминание важно, но без понимания оно грозит перерасти в состояние «за деревьями леса не видать». Однако зная эти парадоксы, нам легче использовать их в свою пользу — и таким образом сделать процесс обучения не просто более эффективным, но и занимательным. 

 

Ваше желание найти решение здесь и сейчас может, как ни странно, помешать вам отыскать это решение.

 

Тут помогут два режима: сфокусированный (с напряженным вниманием и закладыванием «фундамента» для решения) и рассеянный (с его «фоновой» обработкой информации и более свободной группировкой кусочков информации). Переключение этих режимов позволяет мыслям дрейфовать в разные отделы мозга и приносить оттуда элементы, необходимые для решения. 

 

«Перепрограммировать» свой мозг под силу любому.

 

Ключ к успеху — это постоянная и терпеливая работа с вашими сильными и слабыми сторонами.

 

Настроиться на работу можно, «подправив» свои реакции на сигналы извне (например, на звонок телефона или сигнал о новом сообщении). Сделать работу более плодотворной, да еще и приятной, поможет техника «Помидора» с ее короткими сфокусированными рабочими сессиями и наградой в конце.

 

А, отдых помогает не только «перезагрузиться», но и более глубоко и качественно усвоить информацию — и результат будет еще более впечатляющим.

Формирование глубинных кластеров через запоминание и практическое решение задач жизненно необходимо для успешного освоения точных наук.

Как атлеты не могут нарастить мышцы за один день, так и кластеры не могут сформироваться в один миг — здесь нужно понимание сути, время и практика (решение множества различных задач). 

Для освоения точных наук необходимо понимание абстрактной сути концепции или идеи, но часто решение этой сложной задачи приходит через… упрощение, то есть объяснение себе этой концепции так, чтобы тебя поняла даже твоя младшая сестренка лет пяти. 

Используйте в конце старый прием — проверку полученного решения.

Тест на здравый смысл и взгляд на решение со стороны, в контексте «картины в целом», не раз спасал как начинающих студентов, так и матерых ученых от серьезных промахов. 

Об авторе. Барбара Оакли — американский профессор инжиниринга Оклендского Университета. В широких кругах известна как «Индиана Джонс в юбке». В армии США стала специалистом по славянским языкам, работала переводчиком с русского на советском траулере в Беринговом море, преподавала в Китае, сделала военную карьеру в США, пройдя путь от рядового до капитана, работала радистом на Южном Полюсе, а к сорока годам вернулась к учебе, получив докторскую степень. Ее онлайн-курс прошли около 2 миллионов студентов.